DCT 유도, Discrete Cosine Transform, DCT proof

DCT 유도 배경.

 x(n)의 DFT (Discrete Fourier Transform) 결과인 X(k)는 복소수 값을 가지기 때문에 그래프로 표현할 때 불편하다. 그런데 x(n)이 실수이고, X(k)의 값도 실수라면 편할 것이다. 간단히 생각해 보면 exp 대신에 cos을 사용하면 될 것이다. (DCT)

DCT는 DCT-1,2,3,4로 네가지가 있는데 보통 DCT-2를 많이 사용한다.

DCT 목표.

 실수 x(n)에 대한 주파수 변환 결과 역시 실수가 되는 것.

DCT 유도 방법.

 실수 x(n)이 대칭 성질을 가지면 DFT 결과인 X(k)는 실수라는 성질을 이용한다.

1. 임의의 실수 x(n)이 주어졌을 때, 주어진 신호의 성질은 유지하면서 대칭 성질을 가지는 새로운 신호 s(n)을 정의
2. DFT를 구함
3. 정규화 과정을 거침 (두 영역에서의 에너지를 동일하게 하기 위함. Parserval 정리)

주의할 점.

 DFT와 다르게 DCT의 k축은 정확한 주파수를 의미하는 것은 아니고, 단지 주파수와 관련있는 새로운 변수이다.

장점.

 DCT는 DFT에 비하여 에너지 집중화 (compact)가 높다. 실수 x(n)이 시간 영역에서 높은 상관도를 가지고, 전체 에너지가 시간 영역에 넓게 분포하면, 전체 에너지가 일부 k에 집중되는 성질을 가진다.

 N-point DCT에서 에너지가 집중되어 있는 L개의 X(k)를 선택하고 싶은 경우, MSE (mean square error)를 이용하여 평가한다.